Question

若關于x不等式ax²+bx+c＞0的解集為α＜x＜β，則cx²+bx+a＜0的解集為

 

．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：關于x不等式ax²+bx+c＞0的解集為α＜x＜β，可得：α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個實數(shù)根，且a＜0．利用根與系數(shù)的關系把cx²+bx+a＜0化為α•βx²-（α+β）x+1＞0，即（αx-1）（βx-1）＞0．對α，β的大小關系分類討論即可得出．

解答： 解：∵關于x不等式ax²+bx+c＞0的解集為α＜x＜β，
∴α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個實數(shù)根，且a＜0．
∴α+β=-

b

a

，α•β=

c

a

．
∴cx²+bx+a＜0化為

c

a

x2+

b

a

x+1＞0．
∴α•βx²-（α+β）x+1＞0，
化為（αx-1）（βx-1）＞0．
分類討論：當0＜α＜β時，

1

α

＞

1

β

，此時不等式的解集為{x|x＞

1

α

或x＜

1

β

}．
當0=α＜β時，此時不等式化為βx-1＜0，不等式的解集為{x|x＜

1

β

}．
當α＜0＜β時，不等式化為(x-

1

α

)(x-

1

β

)＜0，不等式的解集為{x|

1

α

＜x＜

1

β

}．
當α＜0=β時，此時不等式化為αx-1＜0，不等式的解集為{x|x＞

1

α

}．
當α＜β＜0時，

1

α

＞

1

β

，不等式化為(x-

1

α

)(x-

1

β

)＞0，不等式的解集為{x|x＞

1

α

或x＜

1

β

}．
綜上可得：當0＜α＜β時，不等式的解集為{x|x＞

1

α

或x＜

1

β

}．
當0=α＜β時，不等式的解集為{x|x＜

1

β

}．
當α＜0＜β時，不等式的解集為{x|

1

α

＜x＜

1

β

}．
當α＜0=β時，不等式的解集為{x|x＞

1

α

}．
當α＜β＜0時，不等式的解集為{x|x＞

1

α

或x＜

1

β

}．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了分類討論的思想方法，屬于難題．