在平面直角坐標系xOy中,已知圓O:x2+y2=64,圓O1與圓O相交,圓心為O1(9,0),且圓O1上的點與圓O上的點之間的最大距離為21.

(1) 求圓O1的標準方程;

(2) 過定點P(a,b)作動直線l與圓O,圓O1都相交,且直線l被圓O,圓O1截得的弦長分別為d,d1.若d與d1的比值總等于同一常數(shù)λ,求點P的坐標及λ的值.


 (1)由題設,得圓O1的半徑為4,所以圓O1的標準方程為(x-9)2+y2=16.

(2) 當直線l的斜率存在時,設直線l為y-b=k(x-a),即kx-y-ak+b=0.

則點O,O1到直線l的距離分別為h=,

h1=,

從而,d=2,

d1=2.

由=λ,得

64-=λ2,

整理得[64-a2-16λ2+λ2(a-9)2]k2+2b[a-λ2(a-9)]k+64-b2-λ2(16-b2)=0.

由題意,上式對于任意實數(shù)k恒成立,

所以

由2b[a-λ2(a-9)]=0,得b=0或a-λ2(a-9)=0.

①如果b=0,則64-16λ2=0,解得λ=2(舍去負值).從而a=6或18,

所以λ=2,點P(6,0),P(18,0).

②如果a-λ2(a-9)=0,顯然a=9不滿足,從而λ2=,

所以3a2-43a+192=0.

但Δ=432-4×3×192=-455<0,因此該方程無實數(shù)根,舍去.

當點P的坐標為(6,0)時,若直線l的斜率不存在,此時d=4,d1=2,所以=2,也滿足.

綜上所述,滿足題意的λ=2,點P有兩個,坐標分別為(6,0)和(18,0).


練習冊系列答案
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在下面的四個選項中，函數(shù)f(x)＝x2－1不是減函數(shù)的是(　　)

A．(－∞，－2)                       B．(－2，－1)

C．(－1,1)                           D．(－∞，0)

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