Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=

a

x

（a＞0），設F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函數F（x）的單調區(qū)間；
（2）若以函數y=F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數a的最小值；
（3）是否存在實數m，使得當x∈（0，3]時函數y=g（

2a

x+1

）+m-1的圖象與函數y=f（x+1）的圖象恰有二個不同的交點？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）先求出F（x），然后求出F‘（x），分別求出F′（x）＞0與F′（x）＜0 求出F（x）的單調區(qū)間；
（2）利用導數的幾何意義表示出切線的斜率k，根據k≤

1

2

恒成立將a分離出來，a≥（-

1

2

x₀²+x₀）_max，即可求出a的范圍，從而得到a的最小值；
（3）y=g（

2a

x+1

）+m-1的圖象與函數y=f（x+1）的圖象恰有二個不同的交點，即

1

2

x²+m-

1

2

=ln（x+1）有2個不同的根，分離參數求最值，即可求出實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+

a

x

（x＞0），F′（x）=

1

x

-

a

x2

（x＞0）．
因為a＞0由F′（x）＞0，可得x∈（a，+∞），所以F（x）在（a，+∞）上單調遞增；
由F′（x）＜0，可得x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上單調遞減．
（2）由題意可知k=F′（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

2

對任意0＜x₀≤3恒成立，
即有x₀-

1

2

x₀²≤a對任意0＜x₀≤3恒成立，即（x₀-

1

2

x₀²）_max≤a，
令t=x₀-

1

2

x₀²=-

1

2

（x₀-1）²+

1

2

≤

1

2

，
則a≥

1

2

，即實數a的最小值為

1

2

．
（2）y=g（

2a

x+1

）+m-1的圖象與函數y=f（x+1）的圖象恰有二個不同的交點，即

1

2

x²+m-

1

2

=ln（x+1）有2個不同的根，
∴m=-

1

2

x²+ln（x+1）+

1

2

有2個不同的根，
令h（x）=-

1

2

x²+ln（x+1）+

1

2

，則h′（x）=-x+

1

x+1

=0，
可得x=

-1+ 5

2

，此時函數取得最大值

5 -1

4

+ln

1+ 5

2

，
∴m＜

5 -1

4

+ln

1+ 5

2

．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數正負之間的關系，導數在函數單調性和最值中的應用，同時考查了導數的幾何意義和恒成立問題，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．