Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）證明：的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點；

（2）若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.

注：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）設(shè)，則，．求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的零點．

（2）利用導(dǎo)數(shù)求出在區(qū)間上的最大值，在區(qū)間上的最大值，通過求實數(shù)的取值范圍.

解：（Ⅰ）設(shè)，則，

.

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

又，，，

故在區(qū)間上存在唯一零點.

（Ⅱ）記在區(qū)間上的最大值為，在區(qū)間上的最大值為.

依題意，“對任意，均存在，使得”等價于“”.

由（Ⅰ）知，在只有一個零點，設(shè)為，

且當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

又，，所以當(dāng)時，.

故應(yīng)滿足.

因為，所以.

①當(dāng)時，，對任意，，不滿足.

②當(dāng)時，令，得或.

（i）當(dāng)，即時，在上，，所以在上單調(diào)遞增，.

由，得，所以.

（ii）當(dāng)，即時，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減．.

由，得或，所以.

（iii）當(dāng)，即時，顯然在上，，單調(diào)遞增，于是，此時不滿足.

綜上，實數(shù)的取值范圍是．