Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（1）=-2，且對(duì)于任意的x∈R，都有f′（x）＞2，則不等式f（2^x）＞2^x+1-4的解集為（　�。�

• A、（1，+∞）
• B、（-∞，0）
• C、（0，+∞）
• D、（-∞，1）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-（2x-4），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)g（x）=f（x）-（2x-4），
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=f′（x）-2，
∵f′（x）＞2，∴g′（x）=f′（x）-2＞0，
即函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
∵f（1）=-2，
∴g（1）=f（1）-（2-4）=-2+2=0，
不等式g（x）＞0等價(jià)為g（x）＞g（1），
則對(duì)應(yīng)的解為x＞1，
即f（x）＞2x-4的解為x＞1，
由2^x＞1得，x＞0，
即不等式f（2^x）＞2^x+1-4的解集為（0，+∞），
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．