Question

已知x，x都為整數(shù)，且滿足（

1

x

+

1

y

）（

1

x2

+

1

y2

）=-

2

3

（

1

x4

-

1

y4

），則x+y的可能值有

 

個．

Answer 1

考點：有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由

1

x4

-

1

y4

=(

1

x2

+

1

y2

)(

1

x2

-

1

y2

)，（

1

x

+

1

y

）（

1

x2

+

1

y2

）=-

2

3

（

1

x4

-

1

y4

），化為

1

x

+

1

y

=-

2

3

(

1

x2

-

1

y2

)，即(

1

x

+

1

y

)[1+

2

3

(

1

x

-

1

y

)]=0，
可得

1

x

+

1

y

=0，或

1

x

-

1

y

=-

3

2

．即可得出．

解答： 解：∵

1

x4

-

1

y4

=(

1

x2

+

1

y2

)(

1

x2

-

1

y2

)，（

1

x

+

1

y

）（

1

x2

+

1

y2

）=-

2

3

（

1

x4

-

1

y4

），
又∵

1

x2

+

1

y2

≠0，
∴

1

x

+

1

y

=-

2

3

(

1

x2

-

1

y2

)，
化為(

1

x

+

1

y

)[1+

2

3

(

1

x

-

1

y

)]=0，
∴

1

x

+

1

y

=0，或

1

x

-

1

y

=-

3

2

．
由

1

x

+

1

y

=0，可得x+y=0，（x•y≠0）；
由

1

x

-

1

y

=-

3

2

，化為x=

2y

2-3y

，∴x+y=

2y

2-3y

+y=

2

2 y -3

+y，只有當y=1或2時，x分別為-2，-1．
∴x+y=-1或1，
綜上可得：x+y=-1或1或0．
故答案為：3．

點評：本題考查了因式分解方法、乘法公式、整數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．