Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，它的一個(gè)焦點(diǎn)恰好與拋物線的焦點(diǎn)重合.

求橢圓的方程；

設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作橢圓的兩條動(dòng)弦，若直線斜率之積為，直線是否一定經(jīng)過一定點(diǎn)?若經(jīng)過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）恒過一定點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）可設(shè)橢圓方程為,因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)恰好與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以，又，所以，又因，得，所以橢圓方程為；

（2）由（1）知，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可設(shè)，設(shè)，則，

易得，不合題意；故直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為：，()，并代入橢圓方程，得： ①，設(shè)，則是方程①的兩根，由韋達(dá)定理，由，利用韋達(dá)定理代入整理得，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718570681924033/SYS201411171857147257138260_DA/SYS201411171857147257138260_DA.026.png">，所以，此時(shí)直線的方程為，即可得出直線的定點(diǎn)坐標(biāo).

（1）由題意可設(shè)橢圓方程為,

因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)恰好與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以，

又，所以，

又因，得，

所以橢圓方程為；

（2）由（1）知，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，設(shè)，則，

，不合題意.

故直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為：，()，并代入橢圓方程，得：

①

由得 ②

設(shè)，則是方程①的兩根，由韋達(dá)定理

，

由得：

，

即，整理得

，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718570681924033/SYS201411171857147257138260_DA/SYS201411171857147257138260_DA.026.png">，所以，此時(shí)直線的方程為.

所以直線恒過一定點(diǎn)

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓錐曲線的定點(diǎn)問題.