Question

若a、b、c成等比數(shù)列，log_ca、log_bc、log_ab成等差數(shù)列，則公差d=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)公比為k，可得log_ca=

1

1+2 lgk lga

，log_bc=

2 lgk lga +1

lgk lga +1

，log_ab=

lgk

lga

+1，由成等差數(shù)列可得x的方程，解得x=0或x=

3+ 33

4

或x=

3- 33

4

，分別代入求公差即可．

解答： 解：∵a、b、c成等比數(shù)列，可設(shè)其公比為k，
∴b=ak，c=ak²，
∴l(xiāng)og_ca=

lga

lgc

=

lga

lgak2

=

lga

lga+2lgk

=

1

1+2 lgk lga

，
同理可得log_bc=

2 lgk lga +1

lgk lga +1

，log_ab=

lgk

lga

+1，
又∵log_ca、log_bc、log_ab成等差數(shù)列，設(shè)

lgk

lga

=x，
∴2

2x+1

x+1

=

1

1+2x

+x+1，整理可得2x³-3x²-3x=0，
解得x=0或x=

3+ 33

4

或x=

3- 33

4

，
當(dāng)x=0時(shí)，log_ca=1，log_bc=1，公差d=log_bc-log_ca=0；
當(dāng)x=

3+ 33

4

時(shí)，log_ca=-

33 +5

4

，log_bc=

1- 33

4

，d=log_bc-log_ca=

3

2

；
當(dāng)x=

3- 33

4

時(shí)，log_ca=

33 -5

4

，log_bc=

33 +1

4

，d=log_bc-log_ca=

3

2

，
故答案為：0或

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列，涉及分類(lèi)討論的思想，屬中檔題．