Question

7．已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）求f（x）在區(qū)間$[\frac{1}{e}，e]$的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=\frac{2}{x}-2x=\frac{{2-2{x^2}}}{x}$…（3分）
由f'（x）＞0得 0＜x＜1，
由f'（x）＜0得x＞1…（4分）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），
單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）…（6分）
（2）由（1）知當$x∈[\frac{1}{e}，e]$，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[\frac{1}{e}，1）$，
單調(diào)遞減區(qū)間為（1，e]，
∴f（x）_max=f（1）=-1…（8分）
又∵f（$\frac{1}{e}$）=-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，f（e）=2-e²，
而-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$＜2-e²，
∴$f{（x）_{min}}=2-{e^2}\end{array}$…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．