Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x+1

，若數(shù)列{a_n}（n∈N^*）滿足：a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足：c_n=

2n

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性,等差關(guān)系的確定

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）f（x）=

x

x+1

⇒a_n+1=f（a_n）=

an

an+1

=

1

1 an +1

，于是可得

1

an+1

-

1

an

=1，又a₁=1，從而可證數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c_n=

2n

an

=

2n

1 n

=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

x

x+1

，
∴a_n+1=f（a_n）=

an

an+1

=

1

1 an +1

． 
∴

1

an+1

-

1

an

=1，又a₁=1，
∴數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為1，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=

1

n

．
（Ⅱ）∵c_n=

2n

an

=

2n

1 n

=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
②-①得：
S_n=-2-2²-2³-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
=-

2(1-2n)

1-2

+n•2ⁿ⁺¹
=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系的確定與錯(cuò)位相減法求和，判定數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．