【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
在
處的切線方程;
(2)是否存在非負(fù)整數(shù),使得函數(shù)
是單調(diào)函數(shù),若存在,求出
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)已知,若存在
,使得當(dāng)
時(shí),
的最小值是
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.(注:自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
)
【答案】(1)(2)存在,
的值是0,1,2;(3)
【解析】
(1)當(dāng)時(shí)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算
及
,利用點(diǎn)斜式,即可求出切線方程。
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要使函數(shù)
是單調(diào)函數(shù)即是使
或
恒成立,對(duì)
分類討論,即可求出非負(fù)整數(shù)
的值。
(3)通過(guò)討論的范圍,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出
的最小值,從而確定實(shí)數(shù)
的取值范圍。
解:(1)的定義域?yàn)?/span>
.
當(dāng)時(shí),
,
.∴
.
所以,函數(shù)在
處的切線方程為
即
(2)∵,∴
,
.
當(dāng)時(shí),
.∴
是單調(diào)減函數(shù).符合
當(dāng)時(shí),若
是單調(diào)增函數(shù),則
,
即恒成立,這不可能;
若是單調(diào)減函數(shù),則
,
即恒成立,令
,其開(kāi)口方向向上,對(duì)稱軸方程為
,
,故
,∴
又,
.
綜上,滿足條件的非負(fù)整數(shù)的值是0,1,2
(3)∵
∴
∴
①當(dāng)0時(shí),
.
當(dāng)時(shí),
,
在
上為減函數(shù);
當(dāng)時(shí),
,
在
上為增函數(shù).
所以當(dāng)時(shí),
,不符合題意.
②當(dāng)時(shí),
.
(i)當(dāng),即
時(shí),當(dāng)
變化時(shí),
,
的變化情況如下:
1 | |||||
- | 0 | + | 0 | - | |
↘ | 極小值 | ↗ | 極大值 | ↘ |
若滿足題意,只需滿足,整理得
.
令,
當(dāng)時(shí),
,
所以在
上為增函數(shù),
所以,當(dāng)時(shí),
.
可見(jiàn),當(dāng)時(shí),
恒成立,故當(dāng)
,
時(shí),函數(shù)
的最小值為
.;所以
滿足題意.
(ⅱ)當(dāng),即
時(shí),
,,0,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào).
所以在
上為減函數(shù).從而
在
上為減函數(shù).符合題意.
(ⅲ)當(dāng),即
時(shí),當(dāng)
變化時(shí),
,
的變化情況如下表:
1 | |||||
- | 0 | + | 0 | - | |
↘ | 極小值0 | ↗ | 極大值 | ↘ |
若滿足題意,只需滿足,且
(若
,不符合題意),
即,且
.
又,
∴
.
綜上,.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是( )
①命題“若,則
,
中至少有一個(gè)不小于2”的逆命題是真命題
②命題“設(shè),若
,則
或
”是一個(gè)真命題
③“,
”的否定是“
,
”
④已知,
都是實(shí)數(shù),“
”是“
”的充分不必要條件
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
是
的導(dǎo)函數(shù),則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )
①函數(shù)的值域與
的值域相同;
②若是函數(shù)
的極值點(diǎn),則
是函數(shù)
的零點(diǎn);
③把函數(shù)的圖像向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,就可以得到
的圖像;
④函數(shù)和
在區(qū)間
內(nèi)都是增函數(shù).
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)對(duì)任意的
滿足:
,當(dāng)
時(shí),
(1)求出函數(shù)在R上零點(diǎn);
(2)求滿足不等式的實(shí)數(shù)
的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),若無(wú)窮數(shù)列
滿足:對(duì)所有整數(shù)
,都成立
,則稱
“
-折疊數(shù)列”.
(1)求所有的實(shí)數(shù),使得通項(xiàng)公式為
的數(shù)列
是
-折疊數(shù)列;
(2)給定常數(shù),是否存在數(shù)列
,使得對(duì)所有
,
都是
-折疊數(shù)列,且
的各項(xiàng)中恰有
個(gè)不同的值?證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)遞增數(shù)列滿足
.已知如果對(duì)所有
,
都是
-折疊數(shù)列,則
的各項(xiàng)中至多只有
個(gè)不同的值,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體;在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)t,使得
.
(1)判斷是否屬于集合M,并說(shuō)明理由;
(2)若屬于集合M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若,求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)b,都有
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為更好地落實(shí)農(nóng)民工工資保證金制度,南方某市勞動(dòng)保障部門調(diào)查了2018年下半年該市名農(nóng)民工(其中技術(shù)工、非技術(shù)工各
名)的月工資,得到這
名農(nóng)民工的月工資均在
(百元)內(nèi),且月工資收入在
(百元)內(nèi)的人數(shù)為
,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)求的值;
(2)已知這名農(nóng)民工中月工資高于平均數(shù)的技術(shù)工有
名,非技術(shù)工有
名.
①完成如下所示列聯(lián)表
技術(shù)工 | 非技術(shù)工 | 總計(jì) | |
月工資不高于平均數(shù) | |||
月工資高于平均數(shù) | |||
總計(jì) |
②則能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為是不是技術(shù)工與月工資是否高于平均數(shù)有關(guān)系?
參考公式及數(shù)據(jù):,其中
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題中真命題是
A. 同垂直于一直線的兩條直線互相平行
B. 底面各邊相等,側(cè)面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
C. 過(guò)空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條
D. 過(guò)球面上任意兩點(diǎn)的大圓有且只有一個(gè)
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