【題目】設(shè),若無窮數(shù)列
滿足:對所有整數(shù)
,都成立
,則稱
“
-折疊數(shù)列”.
(1)求所有的實數(shù),使得通項公式為
的數(shù)列
是
-折疊數(shù)列;
(2)給定常數(shù),是否存在數(shù)列
,使得對所有
,
都是
-折疊數(shù)列,且
的各項中恰有
個不同的值?證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)遞增數(shù)列滿足
.已知如果對所有
,
都是
-折疊數(shù)列,則
的各項中至多只有
個不同的值,證明:
.
【答案】(1)或
;(2)存在,證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)題中所給定義,列方程討論的取值可得出結(jié)果;
(2)只需列舉出例子即可證明,結(jié)合定義,數(shù)列的圖象有無數(shù)條對稱軸,可聯(lián)想三角函數(shù);
(3)結(jié)合(2)的結(jié)論利用數(shù)學歸納法即可證明.
(1)要使通項公式為的數(shù)列
是“
-折疊數(shù)列”,只需
.
①當時,
,顯然成立;
②當時,上式可化為
,則
,
,
.
綜上所述,或
;
(2)對于給定的,
都是“
-折疊數(shù)列”,故數(shù)列
的圖象有多條對稱軸,其中
都是數(shù)列
的圖象的對稱軸,
設(shè),由
,得對稱軸為
,且數(shù)列
的周期為
,
滿足給定常數(shù),使得對所有的
,
都是“
-折疊數(shù)列”,
是周期數(shù)列,且周期為
,在
這個周期內(nèi),
為對稱軸,
故對應的項的個數(shù)與
對應的項的個數(shù)相等,
,
,
在
上單調(diào)遞增,
,
故各項中共有
個不同的取值.
綜上所述,給定常數(shù),存在數(shù)列
,使得對所有
,
都是“
-折疊數(shù)列”,且
的各項中恰有
個不同的取值;
(3)由(2)知,且
,即
.
故要證原不等式成立,只需證,只需證
.
①當時,不等式
顯然成立;
②假設(shè)當時,有
成立,
則當時,
,
故當時,不等式成立.
綜上所述,.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如果存在常數(shù),使得數(shù)列
滿足:若
是數(shù)列
中的一項,則
也是數(shù)列
中的一項,稱數(shù)列
為“兌換數(shù)列”,常數(shù)
是它的“兌換系數(shù)”.
(1)若數(shù)列:是“兌換系數(shù)”為
的“兌換數(shù)列”,求
和
的值;
(2)已知有窮等差數(shù)列的項數(shù)是
,所有項之和是
,求證:數(shù)列
是“兌換數(shù)列”,并用
和
表示它的“兌換系數(shù)”;
(3)對于一個不小于3項,且各項皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列,是否有可能它既是等比數(shù)列,又是“兌換數(shù)列”?給出你的結(jié)論,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若的值域為
,求
的值;
(Ⅱ)巳,是否存在這祥的實數(shù)
,使函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個零點.若存在,求出
的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).對于不相等的實數(shù)x1,x2,設(shè)m=,n=
,現(xiàn)有如下命題:
①對于任意不相等的實數(shù)x1,x2,都有m>0;
②對于任意的a及任意不相等的實數(shù)x1,x2,都有n>0;
③對于任意的a,存在不相等的實數(shù)x1,x2,使得m=n;
④對于任意的a,存在不相等的實數(shù)x1,x2,使得m=-n.
其中真命題有___________________(寫出所有真命題的序號).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)
在
處的切線方程;
(2)是否存在非負整數(shù),使得函數(shù)
是單調(diào)函數(shù),若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由;
(3)已知,若存在
,使得當
時,
的最小值是
,求實數(shù)
的取值范圍.(注:自然對數(shù)的底數(shù)
)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,以原點
為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線
的極坐標方程為
,
點的極坐標為
,在平面直角坐標系中,直線
經(jīng)過點
,且傾斜角為
.
(1)寫出曲線的直角坐標方程以及點
的直角坐標;
(2)設(shè)直線與曲線
相交于
,
兩點,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)
的定義域;
(2)若判斷
的奇偶性;
(3)是否存在實數(shù)使函數(shù)
在[2,3]遞增,并且最大值為1,若存在,求出
的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足:
,
,且
、
、
成等差數(shù)列,其中
.
(1)求實數(shù)的值和數(shù)列
的通項公式;
(2)若數(shù)列滿足等式:
(
),求數(shù)列
的前
項和
;
(3)在(2)的條件下,問:是否存在這樣的正數(shù),可以確保恰有5個自然數(shù)
使得不等式
成立?若存在,求
的取值范圍,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)g(x)=-2x+3.
(1)當a=2時,求f(x)的極值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若-2≤a≤-1,對任意x1,x2∈[1,2],不等式|f(x1)-f(x2)|≤t|g(x1)-g(x2)|恒成立,求實數(shù)t的最小值.
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