Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C∶＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，焦距為2，一條準線方程為x＝2．P為橢圓C上一點，直線PF₁交橢圓C于另一點Q．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點P的坐標為(0，b)，求過P，Q，F₂三點的圓的方程；

（3）．

Answer 1

（1）解：由題意得 解得c＝1，a²＝2，所以b²＝a²－c²＝1．

    所以橢圓的方程為＋y²＝1．                     

   （2）因為P(0，1)，F₁(－1，0)，所以PF₁的方程為x－y＋1＝0．

所以點Q的坐標為(－，－)．

解法一：因為k_PF·k_PF＝－1，所以△PQF₂為直角三角形．               

因為QF₂的中點為(－，－)，QF₂＝，

所以圓的方程為(x＋)²＋(y＋)²＝．                            

解法二：設(shè)過P，Q，F₂三點的圓為x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，

所以圓的方程為x²＋y²＋x＋y－＝0．                  

 

所以·＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₂(－1－λ－λx₂)－λy＝－x₂²－(1＋λ)x₂－λ

   

因為λ∈[，2]，所以＝2，當且僅當λ＝，即λ＝1時，取等號．

所以·≤，即·最大值為．             

解法二：當PQ斜率不存在時，

     在＋y²＝1中，令x＝－1得y＝±．

     所以，此時  

     當PQ斜率存在時，設(shè)為k，則PQ的方程是y＝k(x＋1)，

     由得(1＋2k²)x²＋4k²x＋2k²－2＝0，

    韋達定理     

設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂) ，

    則

    的最大值為，此時