Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=6，a₅=18；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是T_n，且T_n+

1

2

bn=1．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）記c_n=a_n•b_n，設(shè){c_n}的前n項(xiàng)和S_n，求證：S_n＜4．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，b1=

2

3

，當(dāng)n≥2時，bn=

1

3

bn-1，由此能證明{b_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）b_n=

2

3

•(

1

3

)-1=2•(

1

3

)n，a_n=2+4（n-1）=4n-2，從而c_n=a_n•b_n=(8n-4)•(

1

3

)n，由此利用錯位相減法能證明S_n＜4．

解答： （Ⅰ）證明：當(dāng)n=1時，b₁=T₁，
由T1+

1

2

b1=1，解得b1=

2

3

，
當(dāng)n≥2時，∵T_n=1-

1

2

bn，Tn-1=1-

1

2

bn-1，
∴b_n=T_n-T_n-1=

1

2

(bn-1-bn)，
∴bn=

1

3

bn-1，
∴{b_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，b_n=

2

3

•(

1

3

)-1=2•(

1

3

)n，
∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=6，a₅=18，
∴

a1+d=6 a1+4d=18

，解得a₁=2，d=4，
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2，
∴c_n=a_n•b_n=(8n-4)•(

1

3

)n，
∴S_n=4×(

1

3

)+12×(

1

3

)2+…+(8n-4)×(

1

3

)n，①

1

3

Sn=4×(

1

3

)2+12×(

1

3

)3+…+(8n-4)×(

1

3

)n+1，②
①-②，得：

2

3

Sn=4×

1

3

+8×(

1

3

)2+8×(

1

3

)3+…+8×(

1

3

)n-(8n-4)×(

1

3

)n+1
=

4

3

+8×

( 1 3 )2[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-(8n-4)×(

1

3

)n+1，
∴Sn=4-4(n+1)•(

1

3

)n，
∵4(n+1)•(

1

3

)n＞0，
∴S_n＜4．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和小于4的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．