Question

（理科）已知圓C：x²+y²=1和點(diǎn)Q（2，0），動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)λ（λ＞0），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？

Answer 1

考點(diǎn)：曲線與方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），欲求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，即尋找x，y間的關(guān)系式，結(jié)合題中條件列式化簡即可得；最后對(duì)參數(shù)λ分類討論看方程表示什么曲線即可．

解答： 解：如圖，設(shè)MN切圓于N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常數(shù)λ＞0．因?yàn)閳A的半徑|ON|=1，所以|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則

x2+y2-1

=λ

(x-2)2+y2

整理得（λ²-1）（x²+y²）-4λ²x+（1+4λ²）=0．
經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個(gè)方程的點(diǎn)都屬于集合P．故這個(gè)方程為所求的軌跡方程．
當(dāng)λ=1時(shí)，方程化為x=

5

4

，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點(diǎn)（

5

4

，0），
當(dāng)λ≠1時(shí)，方程化為（x-

2λ2

λ2-1

）²+y²=

1+3λ2

(λ2-1)2

它表示圓，該圓圓心的坐標(biāo)為（

2λ2

λ2-1

，0），半徑為

1+3λ2

|λ2-1|

．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查曲線與方程的關(guān)系，軌跡的概念，考查直線與圓的位置關(guān)系．直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．