已知拋物線．

(1)試說明：無論m為何實數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；

(2)如圖，當該拋物線的對稱軸為直線x＝3時，拋物線的頂點為點C，直線y＝x－1與拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D．

①拋物線上是否存在一點P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

②平移直線CD，交直線AB于點M，交拋物線于點N，通過怎樣的平移能使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．

九(1)班數(shù)學課題學習小組，為了研究學習二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實踐一應用——探究的過程：

(1)實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道(如圖①)進行測量，測得一隧道的路面寬為10 m．隧道頂部最高處距地面6.25 m，并畫出了隧道截面圖．建立了如圖②所示的直角坐標系．請你求出拋物線的解析式．

(2)應用：按規(guī)定機動車輛通過隧道時，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5 m．為了確保安全．問該隧道能否讓最寬3 m．最高3.5 m的兩輛廂式貨車居中并列行駛(兩車并列行駛時不考慮兩車間的空隙)？

(3)探究：該課題學習小組為進一步探索拋物線的有關知識，他們借助上述拋物線模型塑．提出了以下兩個問題，請予解答：

Ⅰ．如圖③，在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使頂點C、D落在拋物線上．頂點A、B落在x軸上．設矩形ABCD的周長為l，求l的最大值．

Ⅱ．如圖④，過原點作一條y＝x的直線OM，交拋物線于點M．交拋物線對稱軸于點N，P為直線OM上一動點，過P點作x軸的垂線交拋物線于點Q．問在直線OM上是否存在點P，使以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運輸原因，長期只能在當?shù)劁N售．當?shù)卣�府對該特產(chǎn)的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤P＝－(x－60)²＋41(萬元)．當?shù)卣�府擬在“十二·五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤Q＝－(100－x)²＋(100－x)＋160(萬元)．

(1)若不進行開發(fā)，求5年所獲利潤的最大值是多少？

(2)若按規(guī)劃實施，求5年所獲利潤(扣除修路后)的最大值是多少？

(3)根據(jù)(1)、(2)，該方案是否具有實施價值？

如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系(O、C、F三點在x軸正半軸上)．若⊙P過A、B、E三點(圓心在x軸上)，拋物線經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為G，M是FG的中點，正方形CDEF的面積為1．

(1)求B點坐標；

(2)求證：ME是⊙P的切線；

(3)設直線AC與拋物線對稱軸交于N，Q點是此對稱軸上不與N點重合的一動點，①求△ACQ周長的最小值；②若FQ＝t，S_△ACQ＝s，直接寫出s與t之間的函數(shù)關系式．

如圖，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點．P(0，m)是線段OC上一動點(C點除外)，直線PM交AB的延長線于點D．

(1)求點D的坐標(用含m的代數(shù)式表示)；

(2)當△APD是等腰三角形時，求m的值；

(3)設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H(如圖)，當點P從點O向點C運動時，點H也隨之運動．請直接寫出點H所經(jīng)過的路徑長．(不必寫解答過程)

已知頂點為A(1，5)的拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過點B(5，1)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，設C，D分別是x軸、y軸上的兩個動點，求四邊形ABCD周長的最小值；

(3)在(2)中，當四邊形ABCD的周長最小時，作直線CD．設點P(x，y)(x＞0)是直線y＝x上的一個動點，Q是OP的中點，以PQ為斜邊按圖所示構造等腰直角三角形PRQ．

①當△PBR與直線CD有公共點時，求x的取值范圍；

②在①的條件下，記△PBR與△COD的公共部分的面積為S．求S關于x的函數(shù)關系式，并求S的最大值．

如圖，拋物線y＝x²＋bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A(一1，0)．

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)判斷△ABC的形狀，證明你的結論；

(3)點M(m，0)是x軸上的一個動點，當CM＋DM的值最小時，求m的值．

如圖，拋物線y＝mx²－11mx＋24m(m＜0)與x軸交于B、C兩點(點B在點C的左側)，拋物線另有一點A在第一象限內(nèi)，且∠BAC＝90°．

(1)填空：OB＝________，OC＝________；

(2)連接OA，將△OAC沿x軸翻折后得△ODC，當四邊形OACD是菱形時，求此時拋物線的解析式；

(3)如圖，設垂直于x軸的直線l：x＝n與(2)中所求的拋物線交于點M，與CD交于點N，若直線l沿x軸方向左右平移，且交點M始終位于拋物線上A、C兩點之間時，試探究：當n為何值時，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求出這個最大值．

拋物線y＝－(x－1)²＋3與y軸交于點A，頂點為B，對稱軸BC與x軸交于點C．

(1)如圖1．求點A的坐標及線段OC的長；

(2)點P在拋物線上，直線PQ∥BC交x軸于點Q，連接BQ．

①若含45°角的直角三角板如圖2所示放置．其中，一個頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一個頂點E在PQ上．求直線BQ的函數(shù)解析式；

②若含30．角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點D在直線BQ上，另一個頂點E在PQ上，求點P的坐標．