Question

9．Rt△ABC中，∠C=90°，點D、E是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．

（1）若點P在線段AB上，如圖（1），∠α=50°，則∠1+∠2=140°
（2）若點P在邊AB上運動，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為：∠1+∠2=90°+α
（3）若點P運動到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．
（4）若點P運動到△ABC形外，如圖（4），則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為：∠2=90°+∠1-α．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理以及鄰補角的定義，得出∠1+∠2=∠C+∠α，進而得出即可；
（2）利用（1）中所求的結(jié)論得出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系即可；
（3）利用三角外角的性質(zhì)，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；
（4）利用三角形內(nèi)角和定理以及鄰補角的性質(zhì)可得出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系．

解答 解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠α，
∵∠C=90°，∠α=50°，
∴∠1+∠2=140°，
故答案為：140；
                                      
（2）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠α+∠C=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=90°+α，
故答案為：∠1+∠2=90°+α；

（3）∠1=90°+∠2+α，
理由：如圖3，∵∠2+∠α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，
∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；

（4）如圖4，∵∠PFD=∠EFC，
∴180°-∠PFD=180°-∠EFC，
∴∠α+180°-∠1=∠C+180°-∠2，
∴∠2=90°+∠1-α，
故答案為：∠2=90°+∠1-α．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)、對頂角相等的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，熟練利用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．