Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，按逆時(shí)針方向沿矩形的邊運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是每秒2個(gè)單位長度，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)其中某一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P關(guān)于直線AQ的對(duì)稱點(diǎn)記為點(diǎn)M．

（1）點(diǎn)P點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)用含t的式子表示出△APQ的面積S；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，且△ABP∽△PCQ時(shí)，求t的值；

（3）若點(diǎn)Q在線段CD上，且以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）S＝t2 （2） （3）當(dāng)t＝1＋時(shí)，以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形

【解析】試題分析：（1）底AP=2t，高BQ=t，根據(jù)三角形性的的面積公式求解即可；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求解；

（3）分四種情況，①點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CD上，此時(shí)不合題意；②點(diǎn)P和點(diǎn)Q都在CD上，P在Q的左邊，此時(shí)不合題意；③點(diǎn)P和點(diǎn)Q都在CD上，P在Q的又邊，根據(jù)勾股定理列方程求解；④點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在CD上，根據(jù)勾股定理列方程求解.

解：（1）AP=2t，BQ=t，∴S＝t2.

（2）如圖1，由△ABP∽△PCQ可知，此時(shí)點(diǎn)Q在線段CD上，∴，

即，

∴，解得，

∵，∴.

（3）①當(dāng)3＜t≤時(shí)，如圖2，以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形不可能是菱形；

②當(dāng)＜t≤4時(shí)，如圖3，以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形不可能是菱形；

③當(dāng)4＜t≤時(shí)，如圖4，若PA＝PQ，則以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，即32＋(11－2t)2＝(2t－t－4)2，整理得t2－12t＋38＝0，方程無解；

④當(dāng)＜t≤7時(shí)，如圖5，若PA＝PQ，則以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，即(2t－11)2＋(7－t)2＝(14－2t)2，解得t＝1±，

∵＜t≤7，∴t＝1＋.

∴當(dāng)t＝1＋時(shí)，以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.