Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象經(jīng)

過點(diǎn)A、B、C，頂點(diǎn)為E.

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）設(shè)∠DBC＝a，∠CBE＝b，求sin（a－b）的值；

（3）坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

 解：（1）為圓心，半徑為

∴

∴

設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為

解得：

∴ 二次函數(shù)表達(dá)式為

整理成一般式為

（2）過點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F

 

∴可得

點(diǎn)E為二次函數(shù)的頂點(diǎn)

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為

∴

∴∠OCB=∠ECF=45º

∴∠BCE=90º

在Rt△BCE中與Rt△BOD中，

，

∴∠CBE＝∠OBD＝b，

∴ sin（a－b）＝sin（∠DBC－∠OBD）＝sin∠OBC＝

（3）顯然 Rt△COA∽R(shí)t△BCE，此時(shí)點(diǎn)P₁（0，0）

過A作AP₂⊥AC交y正半軸于P₂，由Rt△CAP₂ ∽R(shí)t△BCE，得

過C作CP₃⊥AC交x正半軸于P₃，由Rt△P₃CA∽R(shí)t△BCE，得P₃（9，0）

故在坐標(biāo)軸上存在三個(gè)點(diǎn)P₁（0，0），，P₃（9，0），使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似