Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x+c（c為常數(shù)）的對(duì)稱軸如圖所示，且拋物線過點(diǎn)C（0，c）．

（1）當(dāng)c＝﹣3時(shí)，點(diǎn)（x1，y1）在拋物線y＝x2﹣2x+c上，求y1的最小值；

（2）若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，自左向右分別為點(diǎn)A、B，且OA＝OB，求拋物線的解析式；

（3）當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）-4（2）y＝x2﹣2x+或y＝x2﹣2x﹣8（3）當(dāng)﹣3＜c＜0時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可解決問題；

（2）分兩種情形①當(dāng)點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如解圖1，②當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如解圖2，分別求解即可；

（3）把問題轉(zhuǎn)化為不等式即可解決問題；

（1）當(dāng)c＝﹣3時(shí)，拋物線為y＝x2﹣2x﹣3，

∴拋物線開口向上，有最小值，

∴y最小值＝ ＝﹣4，

∴y1的最小值為﹣4；

（2）拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

①當(dāng)點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如解圖1，

設(shè)A（m，0），

∵OA＝OB，

∴B（2m，0），

∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的對(duì)稱軸為x＝1，

由拋物線的對(duì)稱性得1﹣m＝2m﹣1，解得m＝，

∴A（，0），

∵點(diǎn)A在拋物線y＝x2﹣2x+c上，

∴0＝﹣+c，解得c＝，

此時(shí)拋物線的解析式為y＝x2﹣2x+；

②當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如解圖2，

設(shè)A（﹣n，0），

∵OA＝OB，且點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩側(cè)，

∴B（2n，0），

由拋物線的對(duì)稱性得n+1＝2n﹣1，

解得n＝2，

∴A（﹣2，0），

∵點(diǎn)A在拋物線y＝x2﹣2x+c上，

∴0＝4+4+c，解得c＝﹣8，

此時(shí)拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣8，

綜上，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x+或y＝x2﹣2x﹣8；

（3）∵拋物線y＝x2﹣2x+c與x軸有公共點(diǎn)，

∴對(duì)于方程x2﹣2x+c＝0，判別式b2﹣4ac＝4﹣4c≥0，

∴c≤1．

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝3+c；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c，

∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，且當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴3+c＞0且c＜0，解得﹣3＜c＜0，

綜上，當(dāng)﹣3＜c＜0時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．