Question

16．閱讀下列材料，然后回答問題：
在進行二次根式運算時，我們有時會碰上如$\frac{5}{\sqrt{3}}$、$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：$\frac{5}{\sqrt{3}}$=$\frac{5×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$；
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{2×（\sqrt{3-1）}}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3-1）}}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}）^{2}-1}$=$\sqrt{3}$-1．
以上這種化簡過程叫做分母有理化．
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$還可以用以下方法化簡：
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}-1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$-1．
（1）請任用其中一種方法化簡：
①$\frac{4}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$；
②$\frac{2}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$（n為正整數(shù)）；
（2）化簡：$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+…$\frac{2}{\sqrt{101}+\sqrt{99}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)閱讀材料中的方法將各式化簡即可；
（2）原式分母有理化后，合并即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）①原式=$\frac{15-11}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$=$\frac{（\sqrt{15}）^{2}-（\sqrt{11}）^{2}}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$=$\frac{（\sqrt{15}+\sqrt{11}）（\sqrt{15}-\sqrt{11}）}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}$=$\sqrt{15}$+$\sqrt{11}$；
②原式=$\frac{（2n+1）-（2n-1）}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\frac{（\sqrt{2n+1}）^{2}-（\sqrt{2n-1}）^{2}}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\frac{（\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}）（\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}）}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$；
（2）原式=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$+$\frac{2（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}$+…+$\frac{2（\sqrt{101}-\sqrt{99}）}{（\sqrt{101}+\sqrt{99}）（\sqrt{101}-\sqrt{99}）}$=$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{101}$-$\sqrt{99}$=$\sqrt{101}$-1．

點評 此題考查了分母有理化，弄清閱讀材料中的解題方法是解本題的關(guān)鍵．