Question

如圖1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，

（1）試說(shuō)明△ABC是等腰三角形；

（2）已知S_△ABC=40cm²，如圖2，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1cm的速度沿線(xiàn)段BA向點(diǎn)A 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線(xiàn)段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），

①若△DMN的邊與BC平行，求t的值；

②若點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，問(wèn)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△MDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)．

【專(zhuān)題】動(dòng)點(diǎn)型．

【分析】（1）設(shè)BD=2x，AD=3x，CD=4x，則AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出結(jié)論；

（2）由△ABC的面積求出BD、AD、CD、AC；①當(dāng)MN∥BC時(shí)，AM=AN；當(dāng)DN∥BC時(shí)，AD=AN；得出方程，解方程即可；

②根據(jù)題意得出當(dāng)點(diǎn)M在DA上，即4＜t≤10時(shí)，△MDE為等腰三角形，有3種可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=t﹣4；分別得出方程，解方程即可．

【解答】（1）證明：設(shè)BD=2x，AD=3x，CD=4x，

則AB=5x，

在Rt△ACD中，AC==5x，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：S_△ABC=×5x×4x=40cm²，而x＞0，

∴x=2cm，

則BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm．

①當(dāng)MN∥BC時(shí)，AM=AN，

即10﹣t=t，

∴t=5；

當(dāng)DN∥BC時(shí)，AD=AN，

得：t=6；

∴若△DMN的邊與BC平行時(shí)，t值為5或6．

②當(dāng)點(diǎn)M在BD上，即0≤t＜4時(shí)，△MDE為鈍角三角形，但DM≠DE；

當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，不構(gòu)成三角形

當(dāng)點(diǎn)M在DA上，即4＜t≤10時(shí)，△MDE為等腰三角形，有3種可能．

如果DE=DM，則t﹣4=5，

∴t=9；

如果ED=EM，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，

∴t=10；

如果MD=ME=t﹣4，則（t﹣4）²﹣（t﹣7）²=4²，

∴t=；

綜上所述，符合要求的t值為9或10或．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、解方程等知識(shí)；本題有一定難度，需要進(jìn)行分類(lèi)討論才能得出結(jié)果．