Question

【題目】如圖1，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度出發(fā)，且分別在邊上沿，的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，連接，過點(diǎn)作，與邊相交于點(diǎn)，連接．

（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．求證：；

（2）在（1）的條件下，試探究線段三者之間的等量關(guān)系，并加以證明；

（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，連接，若平分，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；（3）．

【解析】

（1）先根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間求出，再根據(jù)勾股定理可得，從而可得，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，從而可得，，最后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證；

（2）如圖（見解析），連接FQ，先根據(jù)（1）三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直平分線的判定與性質(zhì)可得，然后根據(jù)勾股定理、等量代換即可得證；

（3）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一得出，又分別在和中，利用余弦三角函數(shù)可求出t的值，從而可得CP、AP的長(zhǎng)，最后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得．

（1）由題意得：

四邊形ABCD是矩形

，

在和中，

；

（2），證明如下：

如圖，連接FQ

由（1）已證：

PQ是線段EF的垂直平分線

在中，由勾股定理得：

則；

（3）如圖，設(shè)FQ與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)O

由題意得：，，

平分，

（角平分線的性質(zhì)）

是等腰三角形

在和中，

，即是的角平分線

（等腰三角形的三線合一）

在中，

在中，，即

解得

，即

故的值為．