Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝a（x﹣）（x+）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線DE是拋物線的對稱軸，點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)E在拋物線上，直線y＝kx+過點(diǎn)A、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是第二象限對稱軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥AC交對稱軸于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段QD的長為d，求d與t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，直線AC與對稱軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)M在對稱軸ED上，連接AM、AE，∠AMD＝2∠EAM，過點(diǎn)A作AG⊥AM交過點(diǎn)D平行于AE的直線于點(diǎn)G，點(diǎn)N是線段BP延長線上一點(diǎn)，連接AN、MN、NF，若四邊形NMGA與四邊形NFDA的面積相等，且FN∥AM，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+；（2）d＝﹣t2﹣t+5；（3）P(﹣5，)．

【解析】

（1）由已知可求C(0，)，再將點(diǎn)C代入拋物線解析式即可求出a的值，即可得到二次函數(shù)的解析式；

（2）P(t，﹣t2﹣t+)，過點(diǎn)P作PT⊥x軸，PS⊥y軸交DE于點(diǎn)L，則PT＝﹣t2﹣t+，PS＝﹣t，在矩形PTOS和矩形PTDL中，有DT＝PL＝﹣t﹣，設(shè)AC交DE于點(diǎn)F，由∠PQL＝∠AFL＝∠ACO，則tan∠PQL＝tan∠AFL＝tan∠ACO＝，QL＝﹣t﹣，即可得到d＝﹣t2﹣t+5；

（3）先證明△AMG≌△DFA，得到△AMN與△ANF的面積相等，過點(diǎn)M作MK⊥AN于點(diǎn)K，過點(diǎn)F作FH⊥AN于點(diǎn)H，再證明四邊形HKMF為平行四邊形，四邊形AMFN為平行四邊形，求出BN的解析式為y＝﹣x+，即可求P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）∵直線y＝kx+與y軸交于點(diǎn)C，

∴C(0，)，

∴OC＝，

∵y＝a（x﹣）（x+）經(jīng)過點(diǎn)C，

∴a＝﹣，

∴y＝﹣x2﹣x+；

（2）∵y＝﹣x2﹣x+，

∴設(shè)P(t，﹣t2﹣t+)，A(﹣，0)，B(，0)，

∴tan∠ACO＝＝，

過點(diǎn)P作PT⊥x軸，PS⊥y軸交DE于點(diǎn)L，

∴PT＝﹣t2﹣t+，PS＝﹣t，

∵DE是拋物線的對稱軸，

∴D(﹣，0)，

在矩形PTOS和矩形PTDL中，有DT＝PL＝﹣t﹣，

設(shè)AC交DE于點(diǎn)F，

∵PQ∥AC，DE∥y軸，

∴∠PQL＝∠AFL＝∠ACO，

∴tan∠PQL＝tan∠AFL＝tan∠ACO＝，

∴QL＝﹣t﹣，

∵DQ＝DL+QL，

∴d＝﹣t2﹣t+5；

（3）∠EAM＝α，則∠AMD＝2∠EAM＝2α，

∴∠AEM＝∠EAM＝α，

∴AM＝EM，

∵DE＝8，AD＝4，

∴在RtADM中，AM2=(8-AM)2+42，

∴AM＝EM＝5，DM＝3，

∵DG∥AE，

∴∠GDJ＝∠AEM＝α，

∴∠ADG＝90°﹣α，

∵AM⊥AG，

∴∠MAG＝90°，

∴∠DAG+∠MAD=∠AMD+∠MAD，

∴∠DAG＝∠AMD＝2α，

∴∠AGD＝∠ADG＝90°﹣α，

∴AG＝AD＝4，

∵tan∠AFD＝，

∴DF＝5，

在△AMG與△DFA中，

，

∴△AMG≌△DFA（SAS），

∴△AMG與△DAF的面積相等，

∵四邊形NMGA與四邊形NFDA的面積相等，

∴△AMN與△ANF的面積相等，

如圖2，過點(diǎn)M作MK⊥AN于點(diǎn)K，過點(diǎn)F作FH⊥AN于點(diǎn)H，

∴MK＝FH，

∵MK∥FH，

∴四邊形HKMF為平行四邊形，

∴AN∥DE，

∴點(diǎn)N與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相等，

∵AM∥NF，

∴四邊形AMFN為平行四邊形，

∴AN＝MF＝DF﹣DM＝2，

∴N(﹣，2)，

∴BN的解析式為：y＝﹣x+，

∴﹣x+＝﹣x2﹣x+，

∴x＝﹣5或x＝（舍），

∴P(﹣5，)．