Question

5．如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE，已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
（1）求證：△ABC≌△EAF；
（2）試判斷四邊形EFDA的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）由△ABE是等邊三角形可知：AE=BE，∠EAF=60°，于是可得到∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC，接下來依據(jù)AAS證明△ABC≌△EAF即可；
（2）由△ABC≌△EAF可得到EF=AC，由△ACD是的等邊三角形進而可證明AC=AD，然互再證明∠BAD=90°，可證明EF∥AD，故此可得到四邊形EFDA為平行四邊形．

解答 解：（1）證明：∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，
∴∠EAF=60°，AE=BE，∠EFA=90°．
又∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC．
在△ABC和△EAF中$\left\{\begin{array}{l}{∠EFA=∠ACB}\\{∠EAF=∠ABC}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EAF．
（2）結論：四邊形EFDA是平行四邊形．
理由：∵△ABC≌△EAF，
∴EF=AC．
∵△ACD是的等邊三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴AD=EF．
又∵Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠EFA=∠BAD=90°，
∴EF∥AD．
又∵EF=AD，
∴四邊形EFDA是平行四邊形．

點評 本題主要考查的是全等三角形的性質和判定、等邊三角形的性質，證得∠EFA=∠BAD=90°是解題的關鍵．