Question

6．以原點(diǎn)為圓心，1cm為半徑的圓分別交x、y軸的正半軸于A(yíng)、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B處出發(fā)，沿圓周按順時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)一周，設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t（t＞0）秒．
（1）如圖一，當(dāng)t=1時(shí)，直線(xiàn)PQ恰好與⊙O第一次相切，求此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度（結(jié)果保留π）．
（2）若點(diǎn)Q按照（1）中速度完成整個(gè)過(guò)程，請(qǐng)問(wèn)t為何值時(shí)，以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？（請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出解答過(guò)程）

Answer 1

分析 （1）連接OQ，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OQP=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠P的度數(shù)，求出∠BOQ，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出$\widehat{BQ}$的長(zhǎng)，計(jì)算即可；
（2）分B與Q重合、B與C重合和Q在第一、第四象限，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖一，連接OQ，
∵直線(xiàn)PQ與⊙O相切，
∴∠OQP=90°，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），
∴OP=2，又OQ=1，
∴∠OPQ=30°，
∴∠QOP=60°，
∴∠BOQ=30°，
∴$\widehat{BQ}$的長(zhǎng)為$\frac{30π×1}{180}$=$\frac{π}{6}$，又t=1，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為$\frac{π}{6}$；
（2）如圖一，當(dāng)Q與B重合，即t=0時(shí)，∠QOP=90°，
當(dāng)Q與C重合，即t=$\frac{π×1}{\frac{π}{6}}$=6時(shí)，∠QOP=90°，
由（1）得，t=1時(shí)，直線(xiàn)PQ與⊙O相切，∠OQP=90°，
如圖二，直線(xiàn)PQ與⊙O相切時(shí)，∠OQP=90°，
由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可知，∠OPQ=30°，
則∠POQ=60°，
∴∠BOQ=150°，
∴$\widehat{BQ}$的長(zhǎng)為$\frac{150π×1}{180}$=$\frac{5}{6}$π，
t=$\frac{5}{6}$π÷$\frac{π}{6}$=5，
綜上所述，t=0或t=6或t=1或t=5時(shí)，以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算以及直角三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑、靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．