Question

【題目】在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交BC于點(diǎn)F．

(1)如圖①，當(dāng)AE⊥BC時(shí)，寫出圖中所有與∠B相等的角：　 ；所有與∠C相等的角：　 　 ．

(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．

① 求∠B的度數(shù)；

②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個(gè)角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF； (2)①20°；②30

【解析】

（1）由翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得與∠B相等的角；由等角代換即可得與∠C相等的角；

（2）①由三角形內(nèi)角和定理可得，再由根據(jù)角的和差計(jì)算即可得∠C的度數(shù)，進(jìn)而得∠B的度數(shù)．

②根據(jù)翻折的性質(zhì)和三角形外角及三角形內(nèi)角和定理，用含x的代數(shù)式表示出∠FDE、∠DFE的度數(shù)，分三種情況討論求出符合題意的x值即可．

（1）由翻折的性質(zhì)可得：∠E＝∠B，

∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，

∴∠DFE＝90°，

∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，

即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，

∴∠C＝∠FDE，

∴AC∥DE，

∴∠CAF＝∠E，

∴∠CAF＝∠E＝∠B

故與∠B相等的角有∠CAF和∠E；

∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，

∴∠BAF＋∠CAF＝90°, ∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°

∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°

∴∠BAF＝∠C

又AC∥DE，

∴∠C＝∠CDE，

∴故與∠C相等的角有∠CDE、∠BAF；

（2）①∵

∴

又∵，

∴∠C＝70°，∠B＝20°;

②∵∠BAD＝x°, ∠B＝20°則,,

由翻折可知：∵, ,

∴, ,

當(dāng)∠FDE＝∠DFE時(shí)，, 解得：；

當(dāng)∠FDE＝∠E時(shí)，，解得：（因?yàn)?/span>0＜x≤45，故舍去）；

當(dāng)∠DFE＝∠E時(shí)，，解得：（因?yàn)?/span>0＜x≤45，故舍去）；

綜上所述，存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個(gè)角相等．且．