Question

【題目】在⊙O中，直徑AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，點P在BC上，點Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如圖當PQ∥AB時，求PQ的長；

（2）當點P在BC上移動時，線段PQ長的最大值為______；此時，∠POQ的度數(shù)為______．

Answer 1

【答案】（1）；（2），60°

【解析】

連結(jié)OQ，如圖1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定義可計算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可計算出PQ=；
（2）連結(jié)OQ，如圖2，在Rt△OPQ中，根據(jù)勾股定理得到PQ= PQ=，則當OP的長最小時，PQ的長最大，根據(jù)垂線段最短得到OP⊥BC，則OP=OB=，所以PQ長的最大值=

解：（1）解：（1）連結(jié)OQ，如圖1，

∵PQ∥AB，OP⊥PQ，

∴OP⊥AB，

在Rt△OBP中，∵tan∠B=，

∴OP=3tan30°=，

在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，

∴PQ= =；

（2）連結(jié)OQ，如圖2，

在Rt△OPQ中，PQ==，

當OP的長最小時，PQ的長最大，

此時OP⊥BC，則OP=OB=，

∴PQ長的最大值為 = ,

在Rt△QPO中，tan∠POQ= ==

則∠POQ=60°，

故答案為：，60°．