Question

【題目】如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形和擺放在一起，為公共頂點，，它們的斜邊長為2，若固定不動，繞點旋轉，、與邊的交點分別為、（點不與點重合，點不與點重合），設，．

（1）請在圖（1）中找出兩對相似但不全等的三角形，并選取其中一對進行證明．

（2）求與a的函數(shù)關系式，直接寫出自變量a的取值范圍．

（3）以的斜邊所在的直線為軸，邊上的高所在的直線為軸，建立平面直角坐標系如圖（2），若，求出點的坐標，猜想線段、和之間的關系，并通過計算加以驗證．

Answer 1

【答案】（1）△ACG∽△FAG，△FAG∽△FBA，證明見解析；（2）b=，1＜a＜2；（3）G（1－，0）；BG2+CF2=FG2．

【解析】

(1)找到有公共角的和45°角的兩個三角形即可；

(2)證明△ACG∽△FBA，利用相似三角形的對應邊成比例可得與a的函數(shù)關系式，根據(jù)點F與點C重合時a為2，點G與點B重合時a為1，可得a的取值范圍

(3)先求得a=b=，可求點G（1－，0）；根據(jù)BG=OB﹣OG，求得FG=BC﹣2BG=2－2，即可得到線段、和之間的關系.

（1）△ACG∽△FAG，△FAG∽△FBA．

∵∠GAF=∠C=45°，

∠AGF=∠AGC，

∴△ACG∽△FAG．類似證明△FAG∽△FBA；

（2）∵∠CAG=∠CAF+45°，∠BFA=∠CAF+45°，

∴∠CAG=∠BFA．

∵∠B=∠C=45°，

∴△ACG∽△FBA，

∴ =．

由題意可得CA=BA=．

∴=．∴b=．

自變量a的取值范圍為1＜a＜2．

（3）由BG=CF可得BF=CG，即a=b．

∵b=，

∴a=b=．

∵OB=OC=BC=1，

∴OF=OG=﹣1．

∴G（1－，0）．

線段BG、FG和CF之間的關系為BG2+CF2=FG2；

∵BG=OB﹣OG=1－(－1)=2－=CF，

FG=BC﹣2BG= 2－2(2－)=2－2．

∵BG2+CF2=2(2－)2=12－8，FG2=(2－2)2=12－8．

∴BG2+CF2=FG2 ．