Question

【題目】如圖，頂點(diǎn)為的拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求這條拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）問(wèn)在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

（3）若在第一象限的拋物線(xiàn)下方有一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，過(guò)作軸于點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)心為，試求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為或或或時(shí)，為直角三角形；（3）最小值為.

【解析】

（1）結(jié)合題意，用待定系數(shù)法即可求解；

（2）分3種情況討論，用勾股定理即可求解；

（3）根據(jù)正方形的判定和勾股定理，即可得到答案.

（1）∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，

∴，解得：，

∴這條拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為.

（2）在軸上存在點(diǎn)，使得為直角三角形．

∵，

∴頂點(diǎn)，

∴，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴，，

①若，則.

∴，

解得：，

∴.

②若，則，

∴，

解得：，，

∴或.

③若，則，

∴，

解得：，

∴.

綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或或或時(shí)，為直角三角形．

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，

∵軸于點(diǎn)，

∴，

∴四邊形是矩形，

∵點(diǎn)為的內(nèi)心，

∴，，，，

∴矩形是正方形，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴化簡(jiǎn)得：，

配方得：，

∴點(diǎn)與定點(diǎn)的距離為.

∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在第一象限的弧上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，最小，

∵，

∴，

∴最小值為.