Question

【題目】如圖，矩形中，為上一動(dòng)點(diǎn)（與不重合），將沿翻折至，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接交于，若，則的長(zhǎng)=______，折痕的長(zhǎng)_____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

根據(jù)折疊及矩形的性質(zhì)得到∠B1QF =∠CB1B，即可得到QF= B1F=5，如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥PB1于點(diǎn)H，得到△EHQ∽△EB1F，利用相似比得到EH，QH，從而得到B1H及B1Q，計(jì)算出cos∠HB1Q=，根據(jù)等量代換得到∠PB1B=∠PBB1=∠PCB，利用cos∠PCB = cos∠HB1Q=即可計(jì)算得出PC的值．

解：由折疊可知，PC 垂直平分BB1，

∴BC=B1C，BP=B1P，

∴∠CBB1=∠CB1B，∠PBB1=∠PB1B

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CBB1=∠B1QF，

∴∠B1QF =∠CB1B，

∴QF= B1F，

∵，

∴B1F=5，EF=13，

∴，

如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥PB1于點(diǎn)H，

∵∠PB1C=90°，

∴QH∥B1F，

∴△EHQ∽△EB1F，

∴，

即，

∴EH=，QH=，

∴B1H=

∴，

∴cos∠HB1Q=

又∵∠PBB1+∠BPC=90°，∠BPC+∠PCB=90°，

∴∠PB1B=∠PBB1=∠PCB，

∴cos∠PCB = cos∠HB1Q=

又∵，

∴cos∠PCB，即，

∴PC=，

故答案為：5，