Question

【題目】如圖，在正方形中，以為邊作等邊，延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)，連接、、與相交于點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是__________．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①正確．利用直角三角形30度角的性質(zhì)即可解決問題；②正確，通過計(jì)算證明∠BPD=135°，即可判斷； ③正確，根據(jù)兩角相等兩個(gè)三角形相似即可判斷；④正確．利用相似三角形的性質(zhì)即可證明．

∵△BPC是等邊三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ABC =∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCF=90°-60°=30°，

在和中，

，

∴，

∴，

∴在中，∠A=90°，∠ABE=30°，

∴，故①正確；

∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=∠DPC=75°，

∴∠BPD=∠BPC+∠DPC =60°+75°=135°，故②正確；

∵∠ADC =90°，∠PDC=75°，
∴∠EDP=∠ADC -∠PDC =90°-75°=15°，
∵∠DBA=45°，∠ABE=30°，
∴∠EBD=∠DBA -∠ABE =45°-30°=15°，
∴∠EDP=∠EBD=15°，
∵∠DEP=∠BED，
∴△PDE∽△DBE，故③正確；

∵△PDE∽△DBE，

∴，

∴，故④正確；

綜上，①②③④都正確，

故答案為：①②③④．