Question

如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合．三角板的一邊交CD于點(diǎn)F，另一邊交CB的延長線于點(diǎn)G．

（1）求證：EF＝EG；

（2）如圖2，移動三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)B，其他條件不變，若AB＝a，BC＝b，請直接寫出的值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）成立；證明見解析；（3）．

【解析】（1）∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，

又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB（ASA），∴EF=EG；

（2）成立，

如圖，過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I，則EH=EI，∠HEI=90°，

∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，∴∠IEF=∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH（ASA），

∴EF=EG；

（3）如圖，過點(diǎn)E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，則∠MEN=90°，

∴EM∥AB，EN∥AD，

∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，

∴，，

∴,即，

∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，∴∠GEM=∠FEN，∵∠GME=∠FNE=90°，∴△GME∽△FNE，

∴，∴．