Question

【題目】已知正方形在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別在軸，軸的正半軸上，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，，分別在，上，且，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，．

（Ⅰ）①如圖①，求的長(zhǎng)；②如圖②，連接，，求證；

（Ⅱ）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①；②見(jiàn)解析；（Ⅱ）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）①根據(jù)勾股定理求出EF的長(zhǎng)，的長(zhǎng)；根據(jù)SAS定理證明即可；

（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必與OF垂直；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，E、F的軌跡是以O為圓心，OE（或OF）長(zhǎng)為半徑的圓，若CF⊥OF，那么CF必為⊙O的切線，且切點(diǎn)為F；可過(guò)C作⊙O的切線，那么這兩個(gè)切點(diǎn)都符合F點(diǎn)的要求，因此對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)也有兩個(gè)；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可證得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE的長(zhǎng)，通過(guò)解直角三角形，不難得到E點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得解．

解：（Ⅰ）①∵等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，，

∴，．

在中，由勾股定理，得．

∵是由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，

∴．

②∵四邊形為正方形，

∴，

∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，

∴，

又是等腰直角三角形，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴．

（Ⅱ）如圖，

∵OE⊥OF，

∴過(guò)點(diǎn)F與OE平行的直線有且只有一條，并與OF垂直，

當(dāng)三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，

則點(diǎn)F在以O為圓心，以OF為半徑的圓上．

∴過(guò)點(diǎn)F與OF垂直的直線必是圓O的切線．

又點(diǎn)C是圓O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C與圓O相切的直線有且只有2條，不妨設(shè)為CF1和CF2，

此時(shí)，E點(diǎn)分別在E1點(diǎn)和E2點(diǎn)，滿足CF1∥OE1，CF2∥OE2．

當(dāng)切點(diǎn)F1在第二象限時(shí)，點(diǎn)E1在第一象限．

cos∠COF1=，

∴∠COF1=60°，∴∠AOE1=60°．

∴點(diǎn)E1的橫坐標(biāo)為：xE1=2cos60°=1，

點(diǎn)E1的縱坐標(biāo)為：yE1=2sin60°=，

∴點(diǎn)E1的坐標(biāo)為(1，)；

當(dāng)切點(diǎn)F2在第一象限時(shí)，點(diǎn)E2在第四象限．

同理可求：點(diǎn)E2的坐標(biāo)為(1，-)．

綜上所述，三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，存在兩個(gè)位置，使得OE∥CF，

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E1(1，)或E2(1，-)．