Question

如圖1，已知二次函數(shù)y=ax²﹣8ax+12（a＞0）的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且四邊形ABPC為平行四邊形．

（1）求此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，并確定此二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一點(diǎn)，若△OMP的面積為36，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；平行四邊形的性質(zhì)．

【專(zhuān)題】計(jì)算題．

【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得對(duì)稱(chēng)軸為直線x=4，則PC=4，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得PC=AB=4，然后利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得A（2，0），B（6，0），然后把把點(diǎn) A（2，0）代入得y=ax²﹣8ax+12求出a=1，所以二次函數(shù)解析式為y=x²﹣8x+12；

（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)M（m，x²﹣8x+12），其中2＜m＜6，作MN⊥y軸于N，如圖2，利用S_梯形CPMN﹣S_△OCP﹣S_△OMN=S_△OPM得到（4+m）（12﹣m²+8m﹣12）﹣×4×12﹣m（﹣m²+8m﹣12）=36，化簡(jiǎn)得：m²﹣11m+30=0，然后解方程求出m即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣=4，則PC=4，

∵四邊形ABPC為平行四邊形，

∴PC∥AB，PC=AB，

∴PC=AB=4，

∴A（2，0），B（6，0），

把點(diǎn) A（2，0）代入得y=ax²﹣8ax+12得4a﹣16a+12=0，解得a=1，

∴二次函數(shù)解析式為y=x²﹣8x+12；

（2）設(shè)M（m，x²﹣8x+12），其中2＜m＜6，

作MN⊥y軸于N，如圖2，

∵S_梯形CPMN﹣S_△OCP﹣S_△OMN=S_△OPM，

∴（4+m）（12﹣m²+8m﹣12）﹣×4×12﹣m（﹣m²+8m﹣12）=36，

化簡(jiǎn)得：m²﹣11m+30=0，解得m₁=5，m₂=6，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，﹣3）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．