Question

12．已知菱形ABCD的周長為20cm，面積為20cm²，求對角線AC，BD的長．

Answer 1

分析 根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=BC=DC=AB=5cm，AC⊥DB，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，根據(jù)菱形的面積公式可計算出AC•BD=40，進(jìn)而可得2AO•BO=20，根據(jù)勾股定理可得AO²+BO²=AB²=25，再利用完全平方公式進(jìn)行計算即可．

解答 解：∵菱形ABCD的周長為20cm，
∴AB=BC=DC=AB=5cm，
∵面積為20cm²，
∴$\frac{1}{2}$AC•BD=20，
∴AC•BD=40，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，
∴2AO•BO=20①，AO²+BO²=AB²=25②，
①+②得：（AO+BO）²=45，
AO+BO=3$\sqrt{3}$③，
②-①得：（AO-BO）²=5，
AO-BO=$\sqrt{5}$④，
③④組成方程組解得：$\left\{\begin{array}{l}{AO=2\sqrt{5}}\\{BO=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
∴AC=4$\sqrt{5}$，BD=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握 ①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角； 菱形面積=$\frac{1}{2}$ab．（a、b是兩條對角線的長度）．