Question

5．已知矩形ABCD中，AD=6，∠ACB=30°，將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在BC延長(zhǎng)線上，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E點(diǎn)，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)與C點(diǎn)重合（如圖1），此時(shí)將△EFG以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿直線CB向左平移，直至點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)△EFG運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t＞0）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)D落在線段EF上？
（2）設(shè)在平移過(guò)程中△EFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍；
（3）在平移過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)（如圖2），將△CBA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△C₁A₁B，直線EF與C₁A₁所在直線交于P點(diǎn)，與C₁B所在直線交于點(diǎn)Q．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△ABC的旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），是否存在這樣的α，使得△C₁PQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出α的度數(shù)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)求出線段CD，延長(zhǎng)AD交EF于點(diǎn)H，利用三角函數(shù)即可求出線段DH長(zhǎng)度，再除以運(yùn)動(dòng)速度即為運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）分五種情況進(jìn)行討論，求出重合面積，寫(xiě)出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）通過(guò)分析△C₁PQ為等腰三角形，分析等腰情況，分別求出對(duì)應(yīng)角度即可．

解答 解：（1）∵AD=BC=6，∠ACB=30°，
∴AB=DF=6×tan30°=2$\sqrt{3}$，
延長(zhǎng)AD交EF于點(diǎn)H，如下圖：
∵△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，

∴∠DFH=30°，
∴DH=DF×tan30°=2，
∵△EFG以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿直線CB向左平移，2÷1=2秒，
∴當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)D落在線段EF上．

（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²，
當(dāng)2＜t≤2$\sqrt{3}$時(shí)，S=2$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，
當(dāng)2$\sqrt{3}$＜t≤6時(shí)，S=12-2$\sqrt{3}$，
當(dāng)6＜t≤8時(shí)，S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+6$\sqrt{3}$t-20$\sqrt{3}$+12，
當(dāng)8＜t＜6+2$\sqrt{3}$時(shí)，S=-2$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$+12，

（3）30°、120°、165°．
∵△C₁PQ為等腰三角形，
當(dāng)PQ=PC′，如下圖：

則∠Q=∠C′=30°，
∴∠EPC′=60°，
∵∠E=30°，
∴∠A′B′E=30°，
∴α=30°．
同理：當(dāng)PQ=QC′，PC′=QC′，α=120°、165°．
∴△C₁PQ為等腰三角形，旋轉(zhuǎn)角為30°、120°、165°．

點(diǎn)評(píng) 題目考查了幾何圖形的綜合變換，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵分析圖形的變換情況，在變換過(guò)程中，分析變量和不變量，題目整體較難，適合學(xué)生壓軸訓(xùn)練．