Question

16．已知：如圖，△ABC為等邊三角形，過(guò)AB邊上的點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于G，在GD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使DE=DB，連接AE，CD．
（1）求證：△AGE≌△DAC；
（2）把線段DC沿DE方向向左平移，當(dāng)D平移至點(diǎn)E的位置時(shí)，點(diǎn)C恰好與線段BC上的點(diǎn)F重合（如圖），請(qǐng)連接AF，并判斷△AEF是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知等邊三角形的性質(zhì)可推出△ADG是等邊三角形，從而再利用SAS判定△AGE≌△DAC；
（2）連接AF，由已知可得四邊形EFCD是平行四邊形，從而得到EF=CD，∠DEF=∠DCF，由（1）知△AGE≌△DAC得到AE=CD，∠AED=∠ACD，從而可得到EF=AE，∠AEF=60°，所以△AEF為等邊三角形．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵EG∥BC，
∴∠ADG=∠ABC=60°∠AGD=∠ACB=60°．
∴△ADG是等邊三角形．
∴AD=DG=AG．
∵DE=DB，
∴EG=AB．
∴GE=AC．
∵EG=AB=CA，
∴∠AGE=∠DAC=60°，
在△AGE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AD}\\{∠AGE=∠DAC}\\{GE=AC}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△DAC（SAS）．
（2）解：△AEF為等邊三角形．
證明：如圖，連接AF，
∵DG∥BC，EF∥DC，
∴四邊形EFCD是平行四邊形，
∴EF=CD，∠DEF=∠DCF，
由（1）知△AGE≌△DAC，
∴AE=CD，∠AED=∠ACD．
∵EF=CD=AE，∠AED+∠DEF=∠ACD+∠DCB=60°，
∴△AEF為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)及判定的理解及運(yùn)用．