Question

如圖，一條直線與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，4）

B（4，n）兩點(diǎn)，與軸交于D點(diǎn)，AC⊥軸，垂足為C．

（1）如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求n的值及D點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖乙，若點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動，連結(jié)CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F點(diǎn)．

①試說明△CDE∽△EAF；

②當(dāng)△ECF為等腰三角形時(shí)，直接寫出F點(diǎn)坐標(biāo) ．

 

 

Answer 1

（1）①；②1; （5，0）；（2）證明見解析；F1（1，2）；F2（1，4）；F3（1，8?4）.

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出反比例函數(shù)的解析式為；②再求出B點(diǎn)的坐標(biāo)B（4，1），即得n=1；利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，令一次函數(shù)的y=0，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)D（5，0）；

（2）①在本題中要證△CDE∽△EAF，只要證明出△CDE和△EAF的三個(gè)內(nèi)角分別對應(yīng)相等，即可得證；

②當(dāng)△ECF為等腰三角形時(shí)，可寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)F1（1，2）；F2（1，4）；F3（1，8?4）；

試題解析：（1）①∵點(diǎn)A（1，4）在反比例函數(shù)圖象上

∴k=4

即反比例函數(shù)關(guān)系式為；

②∵點(diǎn)B（4，n）在反比例函數(shù)圖象上

∴n=1

設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=mx+b

∵點(diǎn)A（1，4）和B（4，1）在一次函數(shù)y=mx+b的圖象上

∴解得

∴一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x+5

令y=0，得x=5

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為D（5，0）；

（2）①證明：∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x軸

∴C（1，0）

∴AC=CD=4，

即∠ADC=∠CAD=45°，

∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，

∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，

∴∠ECD=∠AEF，

△CDE和△EAF的兩角對應(yīng)相等，

∴△CDE∽△EAF．

②當(dāng)CE=FE時(shí)，由△CDE≌△EAF可得AE=CD=4，DE=AF=4﹙-1），

∵A（1，4），

∴F點(diǎn)的縱坐標(biāo)=4-AF=4-4（-1）=8-4

∴F﹙1，8-4﹚

當(dāng)CE=CF時(shí)，由∠FEC=45°知∠ACE=90°，此時(shí)E與D重合，

∴F與A重合，

∴F（1，4）

當(dāng)CF=EF時(shí)，由∠FEC=45°知∠CFE=90°，顯然F為AC中點(diǎn)，

∴F（1，2）

當(dāng)△ECF為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為F1（1，2）；F2（1，4）；F3（1，8?4）

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定；2.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；3.等腰三角形的性質(zhì)．