Question

如圖，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿過B點的一條直線BE折疊這個三角形，使C點與AB邊上的一點D重合．
（1）當∠A滿足什么條件時，點D恰為AB的中點寫出一個你認為適當?shù)臈l件，并利用此條件證明D為AB的中點；
（2）在（1）的條件下，若DE=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)：△BCE≌△BDE，BC=BD，當點D恰為AB的中點時，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；當添加條件∠A=30°時，由折疊性質(zhì)知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可證：D為AB的中點；
（2）在Rt△ADE中，根據(jù)∠A，ED的值，可將AE、AD的值求出，又D為AB的中點，可得AB的長度，在Rt△ABC中，根據(jù)AB、∠A的值，可將AC和BC的值求出，代入S_△ABC=

1

2

AC×BC進行求解即可．

解答：解：（1）添加條件是∠A=30°．
證明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，
∵C點折疊后與AB邊上的一點D重合，
∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，
∴∠EBD=30°，
∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；
∵ED為△EAB的高線，所以ED也是等腰△EBA的中線，
∴D為AB中點．

（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．
在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得AD=

22-1

=

3

，
∴AB=2

3

，∵∠A=30°，∠C=90°，
∴BC=

1

2

AB=

3

．
在Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=3，
∴S_△ABC=

1

2

×AC×BC=

3 3

2

．

點評：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變．