Question

如圖，已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6cm；D為AC上一點(diǎn)（不與A、C不重合），過D作DQ⊥AC（DQ與AB在AC的同側(cè)）；點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)，在射線DQ上運(yùn)動(dòng)，連接PA、PC．
（1）當(dāng)PA=PC時(shí)，求出AD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△PAC構(gòu)成等腰直角三角形時(shí)，求出AD、DP的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)△PAC構(gòu)成等邊三角形時(shí)，求出AD、DP的長(zhǎng)；
（4）在運(yùn)動(dòng)變化過程中，△CAP與△ABC能否相似？若△CAP與△ABC相似，求出此時(shí)AD與DP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：當(dāng)PA=PC時(shí)，△PAC為等腰三角形，則D點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，則AD=

1

2

AC，故可求得AD的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)△PAC構(gòu)成等腰直角三角形時(shí)，∠PCD=∠DPC=45°，則PD=AD，由（1）可知AD的長(zhǎng)度，則可得出PD的長(zhǎng)度；
（3）當(dāng)△PAC構(gòu)成等邊三角形時(shí)，∠PAD=60°，在直角△PAD中，根據(jù)勾股定理可以求得PD的長(zhǎng)；
（4）要想使兩三角形相似，△APC必須滿足的條件是∠APC=90°，因此本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠PCA=∠BAC=30時(shí)°，可在直角三角形PAC中根據(jù)AC的長(zhǎng)和∠PCA的度數(shù)，求出AP的長(zhǎng)，然后在直角△ADP中，根據(jù)AP的長(zhǎng)和∠PAC的度數(shù)即可求出AD、DP的長(zhǎng)；
②當(dāng)∠PAC=∠BAC=30°時(shí)，此時(shí)P在直角△ABC的斜邊AB上，且CP⊥AB．然后可按照①的方法求出AD、DP的長(zhǎng)．

解答：解：（1）AD=

1

2

AC=

1

2

BCtan60°=3

3

；


（2）同（1）AD=3

3

∵∠PCD=∠DPC=45°，
∴PD=AD，
∴PD=3

3

；


（3）AD=3

3

DP=9；


（4）①AD=

1

2

×3

3

=

3

2

3

，DP=

9

2

；
②AD=

9

2

3

，DP=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定以及相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．本題較復(fù)雜，要注意（4）中要根據(jù)對(duì)應(yīng)角的不同，分類討論，不要漏解．