Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+mx+m（m＞0）的頂點(diǎn)為A，交y軸于點(diǎn)C．

（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；

（2）若直線(xiàn)y＝﹣x＋n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)B，證明：AB的長(zhǎng)是定值；

（3）連接AC，延長(zhǎng)AC交x軸于點(diǎn)D，作直線(xiàn)AD關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)分別交于E、F兩點(diǎn)．若∠ECF＝90°，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）-1+

【解析】

（1）直接寫(xiě)出頂點(diǎn)式即可得出結(jié)論；
（2）先將點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線(xiàn)AB的解析式中，得出n=2m+m2，進(jìn)而得出直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+2m+m2，再聯(lián)立拋物線(xiàn)解析式得出方程組，轉(zhuǎn)化成方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（3）先求出點(diǎn)A，C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，進(jìn)而得出直線(xiàn)EF解析式，再聯(lián)立拋物線(xiàn)解析式，過(guò)點(diǎn)C作MN∥x軸，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥MN于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥MN，設(shè)點(diǎn)E，F坐標(biāo)，聯(lián)系拋物線(xiàn)和EF表達(dá)式，利用根與系數(shù)的關(guān)系列出方程求解.

解：（1）拋物線(xiàn)，

頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）由（1）知，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

，

，

直線(xiàn)的解析式為①，

設(shè)，，，，

拋物線(xiàn)②，

聯(lián)立①②得，，

即：，

，，

即：的長(zhǎng)是定值，其值為；

（3）拋物線(xiàn)與軸相交于，

，

點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由（1）知，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線(xiàn)是直線(xiàn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

點(diǎn)，在直線(xiàn)上，

直線(xiàn)的解析式為③，

拋物線(xiàn)④，

設(shè)E（，），F（，），

過(guò)點(diǎn)C作MN∥x軸，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥MN于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥MN，如圖1，

∵∠ECF=90°，

∴∠ECM+∠FCN=90°，

∠FCN+∠CFN=90°，

∴∠ECM=∠CFN，

∵∠EMC=∠FNC=90°，

∴△EMC∽△CNF，

∴,

即，

化簡(jiǎn)得：，

聯(lián)立③④得，，

，，

==，

，

∴，

∴=0

解得：m=或m=或m=0，

∵m>0

∴m=.