Question

【題目】如圖，為的直徑，為的切線，，交于點，為弧的中點，連接，交于點．

(1)求證：為的切線；

(2)求證：；

(3)若 ，求．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，得出相等的邊和角，然后判斷出△CDO≌△CBO，判斷出∠CDO是直角即可解決.
（2）根據(jù)圓周角定理的推論，判斷出∠ADB為90°，再結(jié)合平行線的性質(zhì)得出相等的角，根據(jù)相似三角形的判定方法證明△ABD∽△OCB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，將比例式變形即可解決.
（3）過點D向AB作垂線，設(shè)，根據(jù)射影定理，得出AG的長度，計算出OG的長度，根據(jù)勾股定理計算出DG的長度，由垂徑定理得出∠AOE的度數(shù)，然后結(jié)合平行線的性質(zhì)得出相似三角形，列出比例式，即可解決.

（1）連接，

為⊙的切線，
.

，

.

，

.

.

.

，，

.

，

即.

為⊙的切線；

（2）連接，

為⊙的直徑，

.

又，

.

.

，

又∵AB=2OB=2OA，OA=OB，

∴；

（3）作，垂足為，設(shè).

，，

.

，

，

，

.

，

.

為的中點，

，

.

，

.

.

.