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【題目】閱讀下面材料，并解決問題：

如圖等邊內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數．為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉到處，此時≌，這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段PA、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出______；

基本運用

請你利用第題的解答思想方法，解答下面問題:已知如圖，中，，，E、F為BC上的點且，求證：；

能力提升

如圖，在中，，，，點O為內一點，連接AO，BO，CO，且，求的值．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）．

【解析】

根據旋轉變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應邊相等，全等三角形對應角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

把繞點A逆時針旋轉得到，根據旋轉的性質可得，，，，，再求出，從而得到，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，再利用勾股定理列式即可得證．

將繞點B順時針旋轉至處，連接，根據直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半求出，即的長，再根據旋轉的性質求出是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等可得，等邊三角形三個角都是求出，然后求出C、O、、四點共線，再利用勾股定理列式求出，從而得到．

≌，

、、，

由題意知旋轉角，

為等邊三角形，

P，，

易證為直角三角形，且，

；

故答案為：；

如圖2，把繞點A逆時針旋轉得到，

由旋轉的性質得，，，，，，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，，

，

，

由勾股定理得，，

即．

如圖3，將繞點B順時針旋轉至處，連接，

在中，，，，

，

，

繞點B順時針方向旋轉，

如圖所示；

，

繞點B順時針方向旋轉，得到，

，，，

是等邊三角形，

，，

，

，

、O、、四點共線，

在中，，

．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，長方形ABCD中，點P沿著邊按B→C→D→A方向運動，開始以每秒m個單位勻速運動、a秒后變?yōu)槊棵?/span>2個單位勻速運動，b秒后恢復原速勻速運動，在運動過程中，△ABP的面積S與運動時間t的函數關系如圖所示．

（1）直接寫出長方形的長和寬；

（2）求m，a，b的值；

（3）當P點在AD邊上時，直接寫出S與t的函數解析式．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】（1）補充完整：

如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為DC、BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連結EF，試說明DE+BF=EF．

解：將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合．由旋轉可得AB=AD，GB=ED，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．

∴點G、B、F在同一條直線上．

∵∠EAF=45°，

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠3=45°．

∴∠GAF=∠ ．

又∵AG=AE，AF=AF．

∴△GAF≌ ．

∵ =EF．

∴DE+BF=BG+BF=GF=EF．

（2）類比引申：

如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足等量關系 時，有EF=BE+DF．

（3）聯(lián)想拓展

如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，試猜想BD、DE、EC滿足的等量關系，并寫出推理過程．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，動點P從點A開始沿邊AB向B以1cm/s的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿邊BC向C以2cm/s的速度移動（不與點C重合）．如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，當四邊形APQC的面積最小時，經過的時間為（ ）

A. 1 s B. 2 s C. 3 s D. 4 s

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知點A，B的坐標分別為（4，0），（3，2）．

（1）畫出△AOB關于原點O對稱的圖形△COD；

（2）將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉90°得到△EOF，畫出△EOF；

（3）點D的坐標是　 　，點F的坐標是　 　，此圖中線段BF和DF的關系是　 　．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°，點 D 在線段 AB 上運動（D 不與 A、B 重合），連接 CD，作∠CDE=30°，DE 交 BC 于點 E，若△CDE 是等腰三角形，則∠ADC 的度數是___________.

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，本市新建一座圓形人工湖，為測量該湖的半徑，小杰和小麗沿湖邊選取A，B，C三根木柱，使得A，B之間的距離與A，C之間的距離相等，并測得BC長為120米，A到BC的距離為4米，請你幫他們求出該湖的半徑.

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，BC=6， ．求BE的長．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC和△DCB中，若∠ACB＝∠DBC，則不能證明兩個三角形全等的條件是( )

A.∠ABC＝∠DCBB.∠A＝∠DC.AB=DCD.AC=DB

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