Question

如圖1，二次函數(shù)y=a(x²-2mx-3m²)（其中a,m為常數(shù)，且a>0，m>0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0,-3)，點(diǎn)D在二次函數(shù)圖象上，且CD∥AB，連AD；過(guò)點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)于點(diǎn)E，使AB平分∠DAE

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）證明：無(wú)論a、m取何值，點(diǎn)E在同一直線上運(yùn)動(dòng)；

（3）設(shè)該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為F，試探究：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使以PF、AD、AE為邊構(gòu)成的三角形是以AE為斜邊的直角三角形？如果存在，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

解：(1) D(2，－3)

    (2) 作D關(guān)于AB對(duì)稱的點(diǎn)D′必在AE上

    A(－m，0)、B(3m，0)，C(0，－3am²)，D(2m，－3am²)

    ∴D′(2m，3am²)

    ∵拋物線過(guò)點(diǎn)C

    ∴－3am²＝－3，am²＝1

    ∴直線AD′的解析式為

    聯(lián)立，整理得x²－3mx－4m²＝0

    解得x₁＝4m，x₂＝－m（舍去）

    ∴E(4m，5)

    ∴E在y＝5上運(yùn)動(dòng)

    (3) F(m，－4)、E(4m，5)、A(－m，0)、D(2m，－3)

    設(shè)P(b，0)

    ∴PF²＝(m－b)²＋16，AD²＝9m²＋9，AE²＝25m²＋25

    ∴(m－b)²＋16＋9m²＋9＝25m²＋25，解得b₁＝－3m，b₂＝5m

    ∴P(－3m，0)或(5m，0)