Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+c過點(diǎn)（-2，2）和點(diǎn)（4，5），點(diǎn)F（0，2）是y 軸上的定點(diǎn)，點(diǎn)B是拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線l：y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)B、F且交x軸于點(diǎn)A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）①如圖1，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，連接FC，求證：FC平分∠BFO；

②當(dāng)k= 時(shí)，點(diǎn)F是線段AB的中點(diǎn)；

（3）如圖2， M（3，6）是拋物線內(nèi)部一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)B，使△MBF的周長最小？若存在，求出這個(gè)最小值及直線l的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②；（3）存在點(diǎn)B，使△MBF的周長最�。�△MBF周長的最小值為11，直線l的解析式為．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法將已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可解答.

（2）①由于BC∥y軸，容易看出∠OFC＝∠BCF，想證明∠BFC＝∠OFC，可轉(zhuǎn)化為求證∠BFC＝∠BCF，根據(jù)“等邊對等角”，也就是求證BC＝BF，可作BD⊥y軸于點(diǎn)D，設(shè)B（m，），通過勾股定理用表示出的長度，與相等，即可證明.

②用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理表示出的長度，令，解關(guān)于的一元二次方程即可.

（3）求折線或者三角形周長的最小值問題往往需要將某些線段代換轉(zhuǎn)化到一條直線上，再通過“兩點(diǎn)之間線段最短”或者“垂線段最短”等定理尋找最值.本題可過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)B1，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，連接B1F，通過第（2）問的結(jié)論

將△MBF的邊轉(zhuǎn)化為，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到位置時(shí)，△MBF周長取得最小值，根據(jù)求平面直角坐標(biāo)系里任意兩點(diǎn)之間的距離的方法代入點(diǎn)與的坐標(biāo)求出的長度，再加上即是△MBF周長的最小值；將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)求出，再聯(lián)立與的坐標(biāo)求出的解析式即可.

（1）解：將點(diǎn)（-2，2）和（4，5）分別代入，得：

解得：

∴拋物線的解析式為：．

（2）①證明：過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，

設(shè)B（m，），

∵BC⊥x軸，BD⊥y軸，F（0，2）

∴BC＝，

BD＝|m|，DF＝

∴BC＝BF

∴∠BFC＝∠BCF

又BC∥y軸，∴∠OFC＝∠BCF

∴∠BFC＝∠OFC

∴FC平分∠BFO ．

②

(說明：寫一個(gè)給1分）

（3）存在點(diǎn)B，使△MBF的周長最小.

過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)B1，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，連接B1F

由（2）知B1F＝B1N，BF＝BE

∴△MB1F的周長＝MF+MB1+B1F＝MF+MB1+B1N＝MF+MN

△MBF的周長＝MF+MB+BF＝MF+MB+BE

根據(jù)垂線段最短可知：MN＜MB+BE

∴當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)B1處時(shí)，△MBF的周長最小

∵M（3，6），F（0，2）

∴，MN＝6

∴△MBF周長的最小值＝MF+MN＝5+6＝11

將x＝3代入，得：

∴B1（3，）

將F（0，2）和B1（3，）代入y=kx+b，得：

，

解得：

∴此時(shí)直線l的解析式為：．