【題目】如果一個(gè)三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半,那么我們把這個(gè)三角形叫做半高三角形

如圖1,對(duì)于ABC,BC邊上的高AD等于BC的一半,ABC就是半高三角形,此時(shí),稱ABCBC類半高三角形;如圖2,對(duì)于EFG,EF邊上的高GH等于EF的一半,EFG就是半高三角形,此時(shí),稱EFGEF類半高三角形.

1)直接寫(xiě)出下列3個(gè)小題的答案.

①若一個(gè)三角形既是等腰三角形又是半高三角形,則其底角度數(shù)的所有可能值為 

②若一個(gè)三角形既是直角三角形又是半高三角形,則其最小角的正切值為 

③如圖3,正方形網(wǎng)格中,L,M是已知的兩個(gè)格點(diǎn),若格點(diǎn)N使得LMN為半高三角形,且LMN為等腰三角形或直角三角形,則這樣的格點(diǎn)N共有  個(gè).

2)如圖,平面直角坐標(biāo)系內(nèi),直線yx+2與拋物線yx2交于R,S兩點(diǎn),點(diǎn)T坐標(biāo)為(0,5),點(diǎn)P是拋物線yx2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn),且使得RSQRS類半高三角形.

①當(dāng)點(diǎn)P介于點(diǎn)R與點(diǎn)S之間(包括點(diǎn)R,S),且PQ取得最小值時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

②當(dāng)點(diǎn)P介于點(diǎn)R與點(diǎn)O之間(包括點(diǎn)R,O)時(shí),求PQ+QT的最小值.

【答案】1)①45°、15°、75°;②1;③7; 2)①點(diǎn)P′(,),此時(shí),PP′)Q取得最小值;②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)R重合,且P、QH在一條直線且與直線HT垂直時(shí),PQ+QT有最小值,最小值為4

【解析】

1)①②分底邊上的高等于底邊的一半、腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半兩種情況分別求解即可;③如圖3,這樣的格點(diǎn)N共有7個(gè);

2)①如圖4,當(dāng)點(diǎn)P介于點(diǎn)R與點(diǎn)S之間時(shí),與RS平行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P′時(shí),PQ取得最小值,即可求解;②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)R重合,且P、Q、H在一條直線且與直線HT垂直時(shí),PQ+QT有最小值,即可求解.

1)①當(dāng)?shù)走吷系母叩扔诘走叺囊话霑r(shí),

如下圖ABC為等腰三角形,ABAC,ADBC

ADCD,則∠B=∠C45°

當(dāng)腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半時(shí),

同理底角為75°15°

故:答案為45°、15°、75°;

②當(dāng)?shù)走吷系母叩扔诘走叺囊话霑r(shí),如上圖,ABC為等腰直角三角形,

故最小角為45°,最小角的正切值為1;

腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半時(shí),同理可得:最小角的正切值為

故答案為1;

③如圖3,這樣的格點(diǎn)N共有7個(gè),具體情況見(jiàn)下圖,小黑點(diǎn)所示的位置,

2)將拋物線與直線方程聯(lián)立并解得:x=﹣12,

即:點(diǎn)R、S的坐標(biāo)分別為(﹣11)、(2,4),則RS,

RS邊上的高為,

則點(diǎn)Q在于RS平行的上下兩條直線上,如下圖,

過(guò)點(diǎn)QQHNH交于點(diǎn)H,則HQ,則QN3,

點(diǎn)N0,2),則點(diǎn)M5,0),點(diǎn)M于點(diǎn)T重合,

則點(diǎn)Q的直線方程為:yx+5

當(dāng)該直線在直線RS的下方時(shí),yx1,

故點(diǎn)Q所在的直線方程為:yx+5yx1;

①如圖4,當(dāng)點(diǎn)P介于點(diǎn)R與點(diǎn)S之間時(shí),

設(shè)與RS平行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P′的直線方程為:yx+d,

將該方程于拋物線方程聯(lián)立并整理得:x2xd0,

1+4d0,解得:d=﹣,

此時(shí),x2x+0,解得:x,

點(diǎn)P′,),此時(shí),PP′Q取得最小值;

②當(dāng)點(diǎn)P介于點(diǎn)R與點(diǎn)O之間(包括點(diǎn)R,O)時(shí),

如圖4,連接PQ,過(guò)點(diǎn)QQH垂直過(guò)點(diǎn)Tx軸平行的直線于點(diǎn)H,

HQQT,

PQ+QTPQ+QH

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)R重合,且P、Q、H在一條直線且與直線HT垂直時(shí),PQ+QT有最小值,

則其最小值為yTyR514

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