Question

【題目】如圖所示，矩形中，，，點在上，.動點、分別從點、同時出發(fā)，沿射線、線段向點的方向運動（點可運動到的延長線上），當(dāng)動點運動到點時，、兩點同時停止運動.聯(lián)結(jié)、、，過三邊的中點作.設(shè)動點、的速度都是1個單位/秒，、運動的時間為秒.試解答下列問題：

（1）說明；

（2）設(shè)，試問為何值時，為直角三角形？

（3）試用含的代數(shù)式表示，并求當(dāng)為何值時，最��？求此時的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)或時，為直角三角形；（3）當(dāng)時， 的值最小，；當(dāng)時，的值也最小，.

【解析】

（1）由根據(jù)題意可知P、W、Q分別是△FMN三邊的中點，可得PW是△FMN的中位線，然后即可證明△FMN∽△QWP；

（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，當(dāng)△QWP為直角三角形時，△FMN為直角三角形，根據(jù)DM＝BN＝x，AN＝6x，AM＝4x，利用勾股定理求得FM2＝4＋x2，MN2＝（4x）2＋（6x）2，FN2＝（4x）2＋16，然后分①當(dāng)MN2＝FM2＋FN2時，②當(dāng)FN2＝FM2＋MN2時，③FM2＝MN2＋FN2時三種情況討論即可．

（3）根據(jù)①當(dāng)0≤x≤4，即M從D到A運動時，MN≥AN，AN＝6x，故只有當(dāng)x＝4時，MN的值最小即可求得答案，②當(dāng)4＜x≤6時，MN2＝AM2＋AN2＝（x4）2＋（6x）2，解得x即可.

（1）由題意可知、、分別是三邊的中點，

是的中位線，即，

同理，.

，

同理，.

（2）由（1）得，，

故當(dāng)為直角三角形時，為直角三角形，

反之亦然.

由題意可得，，，

由勾股定理分別得，，.

過點N作NK⊥CD于K，

∴CK＝BN＝x，

∵CF＝CDDF＝62＝4，

∴FK＝4x，

∴FN2＝NK2＋FK2＝（4x）2＋16，

①當(dāng)MN2＝FM2＋FN2時，（4x）2＋（6x）2＝4＋x2＋（4x）2＋16，

解得x＝，

②當(dāng)時，，

此方程無實數(shù)根.

③時，，

解得（不合題意，舍去），，

綜上，當(dāng)或時，為直角三角形

（3）①當(dāng)，即從到運動時，，，

故只有當(dāng)時，的最小值，的值也最小，

此時，；

②當(dāng)時，，

當(dāng)，取得最小值2，

當(dāng)時，的值最小，此時.

綜上：當(dāng)時， 的值最小，；當(dāng)時，的值也最小，.