分析 (1)當(dāng)D為AB中點(diǎn)時,DE是三角形ABC的中位線,DE:BC=1:2,而高線的比也是1:2,則三角形的面積的比就可以求出;
(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可以得到底邊DE、BC以及高線之間的關(guān)系,就可以求出面積的比;
(3)使得S1>12S成立,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值y的大小關(guān)系.
解答 解:如圖,
過A作AM⊥BC,交DE于點(diǎn)N,設(shè)AD=x,
∵DE∥BC,
∴DEBC=ANAM=ADAB=x4,
∴DE=x4×BC,AN=x4×AM,
(1)當(dāng)D為AB中點(diǎn)時,DE是三角形ABC的中位線,
∴DE=12BC,AN=12AM,
∵S△ABC=S=12AM×BC,
∴S△DEC=S1=12AN×DE,
∴S1S=12AN×DE12AM×BC=12×12AM×12BC12AM×BC=14;
(2)∵DE∥BC,
∴DEBC=ANAM=ADAB=x4,
∴MNAM=4−x4,
∴S1S=12MN×DE12AM×BC=DEBC×MNAM=x4×4−x4=−x2+4x16,
∴y=-116x2+14x(0<x<4);
(3)不存在點(diǎn)D,使S1>12S,
理由如下:
假設(shè)存在點(diǎn)D,使S1>12S,
∴S1S>12,
∴y>12,
∴-116x2+14x>12,
∴(x-2)2<0,
而(x-2)2≥0,
∴x不存在;
即不存在點(diǎn)D,使S1>12S.
點(diǎn)評 本題為三角形的綜合應(yīng)用,主要考查了相似三角形的性質(zhì)、以及三角形的面積的計算方法,確定出與兩三角形的面積有關(guān)的線段是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點(diǎn)不多,注意計算的正確性.
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