Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中兩條直線OC⊥BC，垂足為C，其OC=2cm，∠COB=60°，反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象過點C．
（1）求：反比例函數(shù)表達式和點B的坐標(biāo)；
（2）若現(xiàn)有長為1cm的線段MN在線段OB上沿OB方向以1cm/s的速度向點B運動（運動前點M與點O重合，N到點B停止運動），過M、N作OB的垂線分別交直線OC、BC于P、Q兩點，線段MN運動的時間為ts．
①若△OMP的面積為S．求出當(dāng)0＜t≤1時，S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②線段MN運動過程中，四邊形MNQP有可能成為矩形嗎？若可能，直接寫出此時t的值；若不可能，說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過點C作CD⊥OB于點D，在Rt△ODC中運用三角函數(shù)可求出點C的坐標(biāo)，然后將點C的坐標(biāo)代入y=

k

x

，就可得到反比例函數(shù)表達式，然后在Rt△OCB中運用三角函數(shù)就可求出點B的坐標(biāo)；
（2）由題可得：OM=t，MN=1，ON=t+1．①只需用t的代數(shù)式表示出PM，就可解決問題；②分別表示出PM、QN的長（用t的代數(shù)式），根據(jù)四邊形MNQP為矩形時PM=QN建立關(guān)于t的方程，解這個方程就可得到t的值．

解答：解：（1）過點C作CD⊥OB于點D，如圖1．

在Rt△ODC中，
∵OC=2，∠COD=60°，
∴CD=OC•sin∠COD=2×

3

2

=

3

，
OD=OC•cos∠COD=2×

1

2

=1，
∴點C的坐標(biāo)為（1，

3

）．
∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象過點C，
∴k=1×

3

=

3

，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

．
∵OC⊥BC，
∴cos∠COB=

OC

OB

，即

1

2

=

2

OB

，
∴OB=4，
∴點B的坐標(biāo)為（4，0）；

（2）由題可得：OM=1×t=t，MN=1，ON=t+1．
①當(dāng)0＜t≤1時，
∵點C（1，2），
∴點P在線段OC上，如圖2．

在Rt△OMP中，
PM=OM•tan∠POM=

3

t，
∴S=

1

2

OM•PM=

1

2

×t×

3

t=

3

2

t²；
②t的值為

3

4

．
解題思路：求出直線OC的解析式，為y=

3

x；
求出直線BC的解析式，為y=-

3

3

x+

4 3

3

；
從而得到PM=

3

t，QN=-

3

3

（t+1）+

4 3

3

；
若四邊形MNQP是矩形，則有PM=QN，如圖3，

則

3

t=-

3

3

（t+1）+

4 3

3

，
解得：t=

3

4

，
此時點M、點N都在線段OB上，符合條件．

點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、三角函數(shù)、矩形的性質(zhì)等知識，運用三角函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．